2種類のコイン A, B の重さを両面天秤ではかりで測ることを考える。コイン A の重さを $a$、コイン B の重さを $b$ とし、いずれも未知であるとする。天秤の片側に A と B を1枚ずつ置いたときの合計の重さを $X$、片側に A から B を引いた組み合わせの合計の重さを $Y$ としたとき、それぞれに独立な誤差 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$（平均 0, 分散 $\sigma^2$）が加わるものとする。
すなわち
$$X = a + b + \varepsilon_1,\quad Y = a – b + \varepsilon_2$$
である。
このとき、コイン B の重さの推定量の分散はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。
① $\dfrac{\sigma^2}{4}$
② $\dfrac{\sigma^2}{3}$
③ $\dfrac{\sigma^2}{2}$
④ $\sigma^2$
解答・解説
③の $\sigma^2/2$ が正解。
さっと確認：
- 観測式：
$X=a+b+\varepsilon_1,\; Y=a-b+\varepsilon_2$（独立、各 $\operatorname{Var}=\sigma^2$） - 推定量：
$\hat b=\dfrac{X-Y}{2}=b+\dfrac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{2}$ - 分散：
$\operatorname{Var}(\hat b)=\dfrac{1}{4}\operatorname{Var}(\varepsilon_1-\varepsilon_2) = \dfrac{1}{4}(\sigma^2+\sigma^2)=\dfrac{\sigma^2}{2}$
