✅ はじめに
統計検定2級の学習において、Z検定とT検定の違いは最重要テーマのひとつです。
この記事では、**「検定統計量とは何か」**を本質から整理し、Z検定とT検定の違いを体系的にまとめます。
✅ 1. 検定統計量とは何か？
検定統計量とは、簡単にいうと
「観測されたズレを、ズレが自然に起こる標準的な大きさで割ったもの」
です。
式で書くと、一般形はこうなります。
$$ \text{検定統計量} = \frac{\text{観測された差}}{\text{標準誤差}} $$
- 観測された差：標本平均 $\overline{X}$ と仮説上の母平均 $\mu$ の差
- 標準誤差：その差が偶然生じる「標準的な幅」
✅ 2. Z検定とは？（母標準偏差が既知の場合）
◆ Z検定の検定統計量
母標準偏差 $\sigma$ が既知の場合、Z検定では以下のように検定統計量 $Z$ を定義します。
$$ Z = \frac{\overline{X} – \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $$
- 分子：標本平均と母平均の差
- 分母：標本平均の標準偏差（＝母標準偏差を $\sqrt{n}$ で割ったもの）
◆ ポイント
- 元データの標準偏差 $\sigma$ が分かっている前提
- 標本平均のばらつき（標準誤差）は $\sigma / \sqrt{n}$
- 使う分布は標準正規分布（Z分布）
✅ 3. T検定とは？（母標準偏差が未知の場合）
◆ T検定の検定統計量
母標準偏差 $\sigma$ が未知の場合、標本標準偏差 $S$ を使って検定します。
このときの検定統計量 $T$ は次のように定義されます。
$$ T = \frac{\overline{X} – \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} $$
- 分子：標本平均と母平均の差
- 分母：標本標準偏差 $S$ を使った標準誤差
◆ ポイント
- 母標準偏差 $\sigma$ を推定するので不確かさが増える
- ばらつきが大きくなり、標準正規分布よりも裾の広いt分布を使う
- t分布の自由度は $n-1$
✅ 4. 標本標準偏差と標準誤差の違い
ここでよく混同しがちな違いを整理します。
| 用語 | 定義 | 意味 |
|---|---|---|
| 標本標準偏差 $S$ | $S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum (X_i – \overline{X})^2}$ | 元データ $X$ のばらつき |
| 標準誤差（SE） | $\text{SE} = \frac{S}{\sqrt{n}}$ | 標本平均 $\overline{X}$ のばらつき |
つまり、
検定統計量の分母に使うのは、標本平均の標準偏差（標準誤差）
です！
✅ 5. まとめ表
| Z検定 | T検定 | |
|---|---|---|
| 母標準偏差 $\sigma$ | 既知 | 未知（推定） |
| 分母 | $\sigma/\sqrt{n}$ | $S/\sqrt{n}$ |
| 使用分布 | 標準正規分布（Z分布） | t分布（自由度 $n-1$） |
| 分散の求め方 | 母集団の値 | 標本から計算（2乗和を使う） |
✅ おわりに
ここまで整理できれば、Z検定とT検定の違いはほぼ完璧に理解できています。
- 2標本T検定
- 分散分析（ANOVA）
- 回帰分析の検定 などでもこの「ズレ ÷ 標準誤差」という発想がベースになります。