統計学において、標本（サンプル）から母集団の平均を推定する際、サンプル平均 $\bar{X}$ は母集団平均 $\mu$ の近似値となります。しかし、サンプル数が有限であるため、必ず推定誤差が生じます。この誤差を定量的に表す指標が 標準誤差（Standard Error, SE） です。

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標準誤差の式（一般の平均）

標準誤差は次の式で表されます。

$$\mathrm{SE}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

• $\sigma$：母集団の標準偏差
• $n$：サンプル数

この式から、サンプル数 $n$ が増えるほど、標準誤差は $1/\sqrt{n}$ の割合で小さくなることが分かります。
➡ 大きなサンプルサイズほど母平均の推定精度が向上します。

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母集団の標準偏差が未知の場合

母分散（$\sigma^2$）が未知である場合は、標本標準偏差 $s$ を用いて推定します。

$$\mathrm{SE}(\bar{X}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$

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比率（％）の場合の標準誤差

平均が割合（比率）や確率として表される場合（例：アンケートで「はい」と答える割合）、母集団の分布は二項分布で近似できます。このとき、母標準偏差は $\sqrt{p(1-p)}$ であり、標準誤差は次の式で表されます。

$$\mathrm{SE}(p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

p：母比率（またはサンプル比率）

n：サンプル数

比率を％表示する場合は、計算後に100倍すればよいです。例えば、割合 $p=0.4$、$n=100$ の場合、誤差は約4.9%となります。

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信頼区間との関係

母平均との差の範囲を一定の信頼度で示すために、信頼区間（Confidence Interval, CI） を用います。

• 母分散が既知の場合（Z検定）
  $$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
• 母分散が未知の場合（t検定）
  $$\bar{X} \pm t_{\alpha/2,\,df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$
• 比率 $p$ の場合（Z検定）
  $$p \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

ここで、

• $z_{\alpha/2}$：標準正規分布の上側確率 $\alpha/2$ に対応する値（95%信頼区間では1.96）
• $t_{\alpha/2,\,df}$：自由度 $df = n-1$ の t 分布に基づく値

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まとめ

• 標準誤差（SE）は、標本平均または比率が母平均からどの程度ばらつくかを示す指標
• サンプル数 $n$ が大きいほど、標準誤差は小さくなり推定精度が高まる
• 確率的な割合（％）の場合は $p(1-p)$ を用いた式が適用される
• 信頼区間を利用することで、推定誤差を確率的に評価できる

✅ 結論：母平均の推定誤差は $1/\sqrt{n}$ の法則に従って減少し、比率の場合も同様に $p(1-p)$ に基づいて評価されます。