✅ はじめに
「将来のお金の価値って、今の価値にするといくらなの？」
この問いに答えるのが、「現在価値（Present Value）」という考え方です。私たちは投資、ローン、事業評価、年金など様々な場面で「将来のお金」を扱いますが、それを**“今”の価値に換算するために使うのが割引率**です。
🔷 割引率とは何か？
割引率（Discount Rate）は、ひとことで言えば：
「将来のお金を、今の価値に直すための利回り」
たとえば、年利10％の世界では、現在100万円を運用すれば来年には110万円になります。
つまり来年の110万円は、今の100万円と同じ価値だと考えます。
この「10％」が割引率です。
🔷 現在価値の基本モデル
将来1年後に $CF$ のキャッシュフローを得る場合、現在価値 $PV$ は：
$$PV = \frac{CF}{1 + r}$$
これが複数年にわたる場合は：
$$PV = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^t}$$
- $CF_t$：t年後のキャッシュフロー
- $r$：割引率
- $n$：期間
🔷 無限に続くキャッシュフロー（永久年金）
たとえば、毎年ずっと一定額 $CF$ を受け取れる場合：
$$PV = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{CF}{(1 + r)^t} = \frac{CF}{r}$$
これは、等比級数の和（無限級数）を使った数理モデルであり、割引率がある限り収束します。
🔷 具体例で理解する（永久年金の場合）
- 割引率 $r = 5\%$、毎年のキャッシュフロー $CF = 100万円$
$$PV = \frac{100}{0.05} = 2,000万円$$
→ 毎年100万円が永久に続く場合、その価値は現在の2,000万円に相当します。
🔷 成長率を組み込んだモデル：Gordon成長モデル
将来のキャッシュフローが毎年一定の成長率 $g$ で増加すると仮定した場合：
$$PV = \frac{CF_1}{r – g}$$
- $CF_1$：来年（1年後）のキャッシュフロー
- $r$：割引率
- $g$：年間成長率（$r > g$ が条件）
これは、企業価値評価やターミナルバリュー（残存価値）の算出に使われます。
🔷 具体例で理解する（成長率あり）
- 割引率 $r = 8\%$、成長率 $g = 5\%$、来年のCF $= 10億円$
$$PV = \frac{10}{0.08 – 0.05} = \frac{10}{0.03} = 333.33億円$$
🔷 まとめ
| 用語 | 意味・使い方 |
|---|---|
| 割引率（r） | 将来のお金を今の価値に直すための利回り |
| 現在価値（PV） | 将来のキャッシュフローを今の価値で表現 |
| 等比級数 | 一定の割合で増減する現象の数学的表現 |
| 成長モデル | キャッシュフローが年々成長する状況に対応 |
💡 補足：こんなときに使える
- 企業価値や株価の評価（DCF法）
- 不動産収益や年金原資の算出
- サブスクリプション事業のLTV試算
- ローン・借金の返済シミュレーション
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