─ 4象限マトリクス・Φの式・効果量・分散の影響まで一望で理解 ─
✍️ はじめに
仮説検定の学習をしていて、
- 「第1種の過誤と第2種の過誤の定義があいまいになる」
- 「偽陽性と偽陰性がどちらか分からなくなる」
- 「αと1−β、どっちが検出力？」
といった混乱に陥った経験はありませんか？
これらが頭の中でグチャグチャに絡み合い、ゲシュタルト崩壊寸前になりそうな人へ、構造的な整理法と、解法に必要な4象限の視点をご紹介します。
🧭 仮説検定の4象限マトリクス＋Φによる数式表現
想定：検定統計量 $ X \sim N(\theta, 1) $、棄却域 $ X \geq x_0 $
| 実際＼判定 | H₀が真 | H₁が真 |
| 陰性（棄却しなかった） | ✅ 真陰性 $ 1 – \alpha(x_0) = \Phi(x_0) $  | ❌ 偽陰性（第2種の過誤） $ \beta(x_0) = \Phi(x_0 – \delta) $  |
| 陽性（棄却した） | ❌ 偽陽性（第1種の過誤） $ \alpha(x_0) = 1 – \Phi(x_0) $  | ✅ 真陽性（検出力） $ 1 – \beta(x_0) = 1 – \Phi(x_0 – \delta) $  |
🔄 効果量 $ \delta $ が変わるとどうなるか？
- $ H_1: \theta = 1 $ → $ 1 – \Phi(x_0 – 1) $
- $ H_1: \theta = 2 $ → $ 1 – \Phi(x_0 – 2) $
- $ H_1: \theta = 3 $ → $ 1 – \Phi(x_0 – 3) $
$ \delta $ が大きいほど $ x_0 – \delta $ は小さくなり、$ \Phi $ の値（=β）は小さくなる → 検出力 $ 1 – \beta $ は大きくなる
🧮 分散（$ \sigma^2 $）が変わるとどうなるか？
1. 第1種の過誤 α：
$$\alpha = 1 – \Phi\left( \frac{x_0}{\sigma} \right)$$
$ \sigma $（標準偏差）が大きいと $ \frac{x_0}{\sigma} $ は小さくなり → $ \Phi $ の値は小 → αは大きくなる
2. 第2種の過誤 β：
$$\beta = \Phi\left( \frac{x_0 – \delta}{\sigma} \right)$$
$ \sigma $ が大きいと $ \Phi $ の引数が小さくなり → βが大きくなる → 検出力（$ 1 – \beta $）は小さくなる
✅ 分散と検出力の関係まとめ
| 分散（$ \sigma^2 $） | $ \alpha(x_0) = 1 – \Phi\left( \frac{x_0 – \mu_0}{\sigma} \right) $ | $ \beta(x_0) = \Phi\left( \frac{x_0 – \mu_1}{\sigma} \right) $ | 検出力$ 1 – \beta(x_0) = 1 – \Phi\left( \frac{x_0 – \mu_1}{\sigma} \right) $ |
| 小さい | 小さい | 小さい | 大きい |
| 大きい | 大きい | 大きい | 小さい |
📎 定型の数式テンプレート（片側検定）
$$ \alpha(x_0) = 1 – \Phi\left( \frac{x_0 – \mu_0}{\sigma} \right) $$
$$ \beta(x_0) = \Phi\left( \frac{x_0 – \mu_1}{\sigma} \right) $$
$$ 1 – \beta(x_0) = 1 – \Phi\left( \frac{x_0 – \mu_1}{\sigma} \right) $$
- $\mu_0$：H₀の平均
- $\mu_1 = \delta$：H₁の平均
- $\sigma$：標準偏差（√分散）
この4象限とΦの式を使えば、仮説検定の混乱を整理しやすくなります。
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