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共分散と分散から相関係数を求める練習問題【統計検定2級対策】

ある大学で数学と物理の試験を行った。受験者は400人で、結果は以下のとおりであった。

  • 数学:平均 65.0、分散 225.0
  • 物理:平均 70.0、分散 144.0
  • 数学と物理の共分散は 126.0 であった。

このとき、数学と物理の相関係数 $r$ を求めよ。


解答ステップのヒント

  1. 相関係数の公式は
    $$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}}$$
  2. 与えられた数値を代入して計算する。

解答・解説

与えられた数値

  • 数学の分散:$\text{Var}(X) = 225.0$
  • 物理の分散:$\text{Var}(Y) = 144.0$
  • 共分散:$\text{Cov}(X,Y) = 126.0$

相関係数の公式

$$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}}$$


代入して計算

  1. 標準偏差を求める
    • $\sqrt{225.0} = 15$
    • $\sqrt{144.0} = 12$
  2. 分母を計算
    $$15 \times 12 = 180$$
  3. 相関係数
    $$r = \frac{126.0}{180} = 0.7$$

✅ よって、答えは $r = 0.7$