ある大学で数学と物理の試験を行った。受験者は400人で、結果は以下のとおりであった。
- 数学:平均 65.0、分散 225.0
- 物理:平均 70.0、分散 144.0
- 数学と物理の共分散は 126.0 であった。
このとき、数学と物理の相関係数 $r$ を求めよ。
解答ステップのヒント
- 相関係数の公式は
$$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}}$$ - 与えられた数値を代入して計算する。
解答・解説
与えられた数値
- 数学の分散:$\text{Var}(X) = 225.0$
- 物理の分散:$\text{Var}(Y) = 144.0$
- 共分散:$\text{Cov}(X,Y) = 126.0$
相関係数の公式
$$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}}$$
代入して計算
- 標準偏差を求める
- $\sqrt{225.0} = 15$
- $\sqrt{144.0} = 12$
- 分母を計算
$$15 \times 12 = 180$$ - 相関係数
$$r = \frac{126.0}{180} = 0.7$$
✅ よって、答えは $r = 0.7$